Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b, et une fonction linéaire en est le cas particulier où b = 0, soit f(x) = ax. Sa droite passe alors par l’origine du repère. Cet article explique comment les reconnaître, lire a et b sur un graphique, puis retrouver l’expression d’une fonction à partir de deux points.
Fonction affine et fonction linéaire : les deux définitions
Une fonction affine associe à chaque nombre x le nombre ax + b, où a et b sont deux nombres fixés. Le nombre a est le coefficient directeur de la droite qui la représente, et b est l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la valeur de f(0).
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Une fonction linéaire multiplie chaque nombre par un coefficient constant : f(x) = ax. Par exemple, f(x) = 6x donne 18 pour x = 3. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine.
Pourquoi toute fonction linéaire est une fonction affine
Il suffit d’écrire ax = ax + 0 : une fonction linéaire est une fonction affine dont l’ordonnée à l’origine vaut 0. L’inverse est faux, car f(x) = 3x + 2 est affine sans être linéaire, sa droite coupant l’axe des ordonnées en 2.
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Ce lien explique aussi la proportionnalité : une fonction linéaire modélise une situation où l’on multiplie toujours par le même nombre, comme le prix de produits vendus au même tarif à l’unité. Cette notion sert jusqu’en sciences, par exemple pour la proportionnalité en physique au lycée.
| Type | Forme | Droite | Exemple |
|---|---|---|---|
| Linéaire | ax | passe par l’origine | f(x) = 3x |
| Affine | ax + b | coupe l’axe des ordonnées en b | f(x) = 3x + 2 |
| Constante | b (a = 0) | horizontale | f(x) = 4 |
Reconnaître une fonction affine dans une expression ou un énoncé
Après développement, l’expression doit se ramener à ax + b. Ainsi f(x) = 2(x + 5) – x devient x + 10 : c’est une fonction affine, avec a = 1 et b = 10.
Trois formes sortent de cette famille : x au carré, x au dénominateur et la racine carrée de x. Les fonctions f(x) = x² + 1, f(x) = 1/x et f(x) = √x ne sont donc pas affines.
Un énoncé se traite de la même façon. Un abonnement à 10€ par mois plus 2€ par entrée donne f(x) = 2x + 10, une fonction affine. Un produit à 2€ l’unité sans frais fixes donne f(x) = 2x, une fonction linéaire.
Lire a et b sur la représentation graphique
Sur une droite, b se lit à l’intersection avec l’axe des ordonnées. Pour a, on part d’un point de la droite, on avance de 1 vers la droite et on note de combien on monte ou on descend : ce déplacement vertical vaut a.
Le signe de a donne le sens de variation. Si a est positif, la droite monte et la fonction est croissante ; s’il est négatif, la droite descend. Pour f(x) = -2x + 3, la droite coupe l’axe en 3 et descend de 2 chaque fois que l’on avance de 1. Une droite qui passe par l’origine est celle d’une fonction linéaire.
Calculer a et b à partir de deux points : exemple corrigé
Avec deux points A(x1 ; y1) et B(x2 ; y2), le coefficient directeur se calcule par a = (y2 – y1) / (x2 – x1). On trouve ensuite b en remplaçant x et y par les coordonnées d’un des deux points dans y = ax + b.
Prenons A(1 ; 5) et B(3 ; 11). On obtient a = (11 – 5) / (3 – 1) = 6 / 2 = 3. Avec le point A, 5 = 3 × 1 + b, donc b = 2. La fonction est f(x) = 3x + 2.
La vérification se fait sur l’autre point : f(3) = 3 × 3 + 2 = 11, ce qui est bien l’ordonnée de B. Cette méthode fonctionne sans graphique, dès que l’on connaît deux valeurs de la fonction.
Tracer la droite et éviter les erreurs fréquentes
Deux points suffisent pour tracer la droite. Le plus simple est (0 ; b), puis un second point obtenu en calculant f pour une valeur de x choisie. Pour s’entraîner en autonomie, on peut aussi s’entraîner en mathématiques en ligne sur des exercices progressifs.
Voici les erreurs qui reviennent le plus souvent :
- Confondre a et b : a est la pente, b est la valeur de f(0).
- Inverser le quotient et calculer (x2 – x1) / (y2 – y1) au lieu de (y2 – y1) / (x2 – x1).
- Oublier un signe moins, surtout quand un des points a une coordonnée négative.
Autre idée fausse : une fonction affine n’est pas toujours croissante. Elle est décroissante dès que a est négatif.
Accompagner son enfant sur ce chapitre
Les fonctions linéaires et affines sont au programme de la troisième, au collège. Un parent peut aider sans refaire le cours : demander à l’enfant de repérer a et b sur une droite, ou de transformer un tarif en expression f(x) = ax + b.
Quand les erreurs de calcul persistent, aider un enfant en difficulté scolaire passe d’abord par l’identification de l’étape qui bloque. Si le blocage dure, un soutien scolaire adapté au niveau permet de reprendre les bases pas à pas.
Un enfant qui sait retrouver a et b à partir de deux points, puis vérifier sur le second, a compris le principe du chapitre.
